Planimetria • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP
Planimetria

Planimetria
Geometria płaszczyzny, zwana również planimetrią, wymaga między innymi znajomości wielokątów, opisywania okręgów na trójkącie i wpisywania ich w trójkąt. Towarzyszące temu obliczenia przedstawiamy w sposób przystępny, nawiązujący do programu szkoły średniej, pozwalający swobodnie poruszać się w tematach związanych z planimetrią.
- Trójkąty przystające
  - Zadanie 1.
    Udowodnij, że w równoległoboku ABCD trójkąt ABC jest przystający do trójkąta ADC.
  - Zadanie 2.
    Udowodnij, że trójkąt ACB jest przystający do trójkąta DCE, jeśli AB $\left | \right |$ DE i |AC|=|CE|
  - Zadanie 3.
    W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB, poprowadzono z wierzchołków A i B środkowe AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.
  - Zadanie 4.
    W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB, poprowadzono z wierzchołków AB dwusieczne AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.
  - Zadanie 5.
    Udowodnij, że każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion kąta.
  - Zadanie 6.
    Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak jak na rysunku w filmie ( w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty ). Wykaż, że |AD|=|BE|
  - Zadanie 7.
    Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH ( tak jak na rysunku w filmie ). Udowodnij, że |AC|=|FG|.
- Trójkąty podobne
  - Zadanie 1.
    Dane są długości boków pierwszego trójkąta wynoszą 6,8,12, a drugiego 9,12,18. Czy trójkąty te są podobne ? Jeżeli są podobne wyznacz skalę podobieństwa.
  - Zadanie 2.
    Dany jest trójkąt o bokach długości 6, 8, 12. Najdłuższy bok trójkąta jest równy 16 oraz $\bigtriangleup ABC\sim A'B'C'$ . Jaka jest skala podobieństwa tych trójkątów? Oblicz obwód trójkąta .
  - Zadanie 3.
    Trójkąt ABC, którego obwód jest równy 55, jest podobny do trójkąta o bokach długości : 4, 8, 10. Oblicz długości boków trójkąta ABC
  - Zadanie 4.
    Oblicz długość x, jeśli BE||CD ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 5.
    Oblicz długość x, jeśli czworokąt ABCD jest równoległobokiem ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 6.
    Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 12 i 16 jest podobny do trójkąta o obwodzie równym 6. Oblicz długości przeciwprostokątnych obu trójkątów.
  - Zadanie 7.
    W trójkącie prostokątnym ACB o kącie prostym w wierzchołku C poprowadzono wysokość na podstawę AB. Udowodnij, że $h=\frac{ab}{c}$ , gdzie i są długościami przyprostokątnych i c długością przeciwprostokątnej.
  - Zadanie 8.
    W trójkącie prostokątnym o kącie prostym w wierzchołku poprowadzono wysokość na podstawę . Udowodnij, że $h^{2}=\left | AD \right |\cdot \left | DB \right |$ , gdzie punkt jest spodkiem wysokości na przeciwprostokątną .
  - Zadanie 9.
    W okręgu poprowadzono dwie cięciwy i przecinające się w punkcie . Udowodnij, że $\bigtriangleup PAC\sim \bigtriangleup PDB$ , następnie wykaż, że $\left | PA \right |\cdot \left | PB \right |=\left | PC \right |\cdot \left | PD \right |$
  - Zadanie 10.
    Dany jest trapez o podstawach AB i CD. Jego przekątne przecinają się w punkcie O. Uzasadnij, że $\bigtriangleup ABO\sim \bigtriangleup CDO$ Jaka jest odległość punktu O od krótszej podstawy, jeśli wysokość trapezu wynosi 6 cm, a długości podstaw są odpowiednio równe 4 cm i 8 cm. Oblicz pola trójkątów ABO i CDO.
- Wielokąty podobne
  - Zadanie 1.
    Prostokąt $P_{1}$ ma boki długości 12 cm i 16 cm. Prostokąt $P_{2}$ ma przekątną długości 25 cm i jeden z boków długości 20 cm. Uzasadnij, że prostokąty są podobne i podaj skalę podobieństwa.
  - Zadanie 2.
    Prostokąt ma boki długości 12 cm i 15 cm i jest podobny do prostokąta o obwodzie 36 cm. Oblicz długość przekątnej mniejszego prostokąta.
  - Zadanie 3.
    Prostokąt $P_{1}$ ma boki długości 6 cm i 12 cm jest podobny do prostokąta $P_{2}$ o obwodzie 60 cm. Oblicz pole większego prostokąta.
  - Zadanie 4.
    Trapez równoramienny o podstawach długości 4 cm i 9 cm podzielono na dwa trapezy podobne prostą równoległą do podstaw. Oblicz skalę podobieństwa otrzymanych trapezów.
  - Zadanie 5.
    Dany jest prostokąt o bokach długości 1 i . Po odcięciu kwadratu o boku 1, otrzymujemy prostokąt podobny do prostokąta wyjściowego.
    Wykaż, że $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ( rysunek w filmie )
- Trójkąty prostokątne
  - Zadanie 1.
    Oblicz x ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 2.
    Oblicz x ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 3.
    Sprawdź czy trójkąt o bokach długości
    a) $\frac{9}{10},\frac{6}{5},\frac{3}{2}$ b) 5,9,11 jest prostokątny ?
  - Zadanie 4.
    Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że:
    a) przekątna kwadratu o boku długości ma długość $a\sqrt{2}$
    b) wysokość w trójkącie równobocznym ABC o boku długości , wynosi $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .
  - Zadanie 5.
    Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie
  - Zadanie 6.
    Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie
  - Zadanie 7.
    Oblicz pole równoramiennego trójkąta prostokątnego, jeżeli jego obwód jest równy $6\left ( 1+\sqrt{2} \right )$
  - Zadanie 8.
    Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ma miarę $120^{0}$ . Oblicz obwód tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 15 cm.
  - Zadanie 9.
    Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa $2\sqrt{6}+6\sqrt{2}$
  - Zadanie 10.
    Oblicz pole trójkąta prostokątnego ABD ( rysunek w filmie ), jeśli pole trójkąta BCD jest równe $3\sqrt{3}$ .
- Pole trójkąta
  - Zadanie 1.
    Udowodnij wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a, $P_{\Delta }=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ . Wyznacz obwód trójkąta równobocznego, jeżeli jego pole wynosi $4\sqrt{3}$ .
  - Zadanie 2.
    Wyprowadź wzór na pole trójkąta $P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2} a bsin\alpha$ , gdzie są długościami boków trójkąta i kąt $\alpha$ jest kątem zawartym między tymi bokami. Oblicz pole trójkąta , w którym $\left | AB \right |=4\sqrt{3},\left | AC \right |=\sqrt{3},\left | \measuredangle ABC \right |=35^{0}\left | \measuredangle ACB \right |=100^{0}$
  - Zadanie 3.
    Obwód trójkąta równoramiennego ( rysunek w filmie) jest równy $(12+8\sqrt{3})$ cm. Punkt jest środkiem odcinka , a punkt dzieli odcinek w stosunku . Oblicz pole trójkąta a) b)
  - Zadanie 4.
    W trójkącie równoramiennym o polu $12\sqrt{3}$ $cm^{2}$ stosunek długości wysokości opuszczonej na podstawę do długości tej podstawy jest równy $\frac{\sqrt{3}}{6}$ .
    Oblicz miary kątów $\bigtriangleup$ .
  - Zadanie 5.
    Zastosuj wzór Herona, na pole trójkąta o bokach długości $P_{\bigtriangleup }=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}$ , gdzie $p=\frac{a+b+c}{2}$ ( połowa obwodu trójkąta ). Oblicz pole trójkąta o bokach długości 4,7,5.
  - Zadanie 6.
    Dany jest trójkąt, w którym kąt między bokami o długościach x i 2x ma miarę $120^{0}$ . Uzasadnij, ze pole tego trójkąta jest dwukrotnie większe od pola trójkąta równobocznego o boku długości x.
  - Zadanie 7.
    Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie równej i kącie przy podstawie $15^{0}$ . Uzasadnij, że jeśli wysokość opuszczona na podstawę równa się , to ramię tego trójkąta ma długość $\sqrt{2ah}$
- Pole czworokąta
  - Zadanie 1.
    Kąt rozwarty równoległoboku to $120^{o}$ , oblicz pole tego równoległoboku wiedząc, że długości jego boków to 6 cm i 10 cm.
  - Zadanie 2.
    Uzasadnij wzór na pole równoległoboku $P=abin\alpha$ , gdzie i są długościami boków równoległoboku, $\alpha$ jest kątem jaki tworzą te boki. Oblicz pole równoległoboku o bokach długości 6 cm i 10 cm wiedząc, że kąt rozwarty w tym równoległoboku to $150^{o}$ .
  - Zadanie 3.
    Pole równoległoboku o bokach długości 6 cm i 16 cm jest równe 48 cm². Oblicz wysokości i miary kątów tego równoległoboku.
  - Zadanie 4.
    Jeden z boków równoległoboku ma długość 15 cm i tworzy z drugim bokiem kąt $\alpha$ taki, że $sin\alpha =\frac{2}{3}$ . Oblicz obwód tego równoległoboku, jeśli pole jest równe 45 cm².
  - Zadanie 5.
    Uzasadnij wzór na pole równoległoboku , $P=\frac{1}{2}\left | AC \right |\left | BC \right |sin\varphi$ ( $\varphi$ – kąt między przekątnymi równoległoboku ). Oblicz pole równoległoboku, w którym przekątne o długości 10 cm i 14 cm przecinają się pod kątem 30⁰.
  - Zadanie 6.
    Długość boku równoległoboku jest o 3 większa od wysokości opuszczonej na ten bok. Wyznacz długości boków równoległoboku wiedząc, że jego pole jest równe 10 i $sin\alpha =\frac{3}{4}$ , gdzie $\alpha$ jest kątem ostrym równoległoboku.
  - Zadanie 7.
    Ile jest równa wysokość rombu o przekątnych długości 6 cm i 8 cm ?
  - Zadanie 8.
    Oblicz pole rombu o boku długości 13 cm i dłuższej przekątnej równej 24 cm.
  - Zadanie 9.
    Oblicz pole rombu o kącie ostrym 40⁰ i dłuższej przekątnej równej 30 cm.
  - Zadanie 10.
    Oblicz pole rombu o boku 12 i kącie ostrym 60⁰ oraz promień okręgu wpisanego w ten romb.
  - Zadanie 11.
    Obwód rombu jest równy 24 cm, a jego pole 18 cm². Oblicz miarę kąta ostrego tego rombu.
  - Zadanie 12.
    Przekątne rombu maja długości 12 cm i 16 cm, a jego kąt ostry ma miarę $\alpha$ . Oblicz $sin\alpha$ .
  - Zadanie 13.
    Oblicz pole rombu o boku 17 cm, w którym długości przekątnych różnią się o 14 cm.
  - Zadanie 14.
    Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 10 cm, 6 cm i przekątnej długości 9 cm.
  - Zadanie 15.
    Oblicz pole trapezu prostokątnego o podstawach długości 13 cm i 19 cm oraz kącie ostrym 60⁰.
  - Zadanie 16.
    Oblicz pole trapezu prostokątnego o ramionach długości 5 cm i 10 cm oraz krótszej podstawie długości 4 cm.
  - Zadanie 17.
    W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 45⁰ i polu równym 90 cm² dłuższa przekątna tworzy z podstawami kąt $\alpha$ taki, że $tg\alpha =\frac{1}{3}$ . Oblicz obwód tego trapezu.
  - Zadanie 18.
    Oblicz pole trapezu prostokątnego w którym $\left | BC \right |$ = 10 cm, $\left | AB \right |$ = 14 cm, sinus kąta wynosi $\frac{\sqrt{5}}{3}$
  - Zadanie 19.
    Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego kąt ostry ma miarę 30⁰, a podstawy mają długości 4 cm i 10 cm.
  - Zadanie 20.
    Oblicz pole i miary kątów trapezu równoramiennego o podstawach długości $6\sqrt{3}$ cm i $2\sqrt{3}$ cm opisanego na okręgu o promieniu 3 cm.
- Długość okręgu i pole koła
  - Zadanie 1.
    a) Oblicz długość łuku okręgu o promieniu 9 wyznaczonego przez kąt 120⁰
    
    b) Jaką miarę ma kąt AOB, jeśli punkty A, B leżące na okręgu o środku O i promieniu 8, wyznaczają łuk długości $2\pi$
  - Zadanie 2.
    Punkty A i B leżą na okręgu o średnicy 10 cm, $\left | AB \right |$ = 5 cm. Ile jest równa długość łuku
  - Zadanie 3.
    a) Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o obwodzie równym 32
    b) Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku 6
  - Zadanie 4.
    a) Oblicz pole wycinka koła o promieniu 9 wyznaczonego przez kąt 40⁰
    b) Pole wycinka koła o promieniu 6 wyznaczonego przez kąt jest równe $2\pi$ . Oblicz miarę kąta $\alpha$
  - Zadanie 5.
    Punkty A, B należące do okręgu o środku O i promieniu 4 wyznaczają kąt AOB o mierze 60⁰. Oblicz pole odcinka koła wyznaczonego przez ten kąt.
  - Zadanie 6.
    Punkty A, B należące do okręgu o środku O i promieniu 12 wyznaczają kąt AOB o mierze 90⁰. Oblicz pole odcinka koła wyznaczonego przez ten kąt.
  - Zadanie 7.
    W kole o promieniu 4 poprowadzono cięciwę o długości $4\sqrt{2}$ . Oblicz pola figur, na które podzieliła ona koło.
- Kąty w okręgu
  - Zadanie 1.
    Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: α, β, γ ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 2.
    Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)
  - Zadanie 3.
    Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)
  - Zadanie 4.
    Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)
  - Zadanie 5.
    Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)
  - Zadanie 6.
    Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)
  - Zadanie 7.
    Wyznacz miary kątów: α, β (rysunek w filmie)
  - Zadanie 8.
    Wyznacz miary kątów: α, β (rysunek w filmie)
  - Zadanie 9.
    Wyznacz miarę kąta α (rysunek w filmie)
  - Zadanie 10.
    Wyznacz miarę kąta α (rysunek w filmie)
- Okrąg opisany na trójkącie
  - Zadanie 1.
    W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę 45°, a podstawa ma długość 4 cm. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
  - Zadanie 2.
    W okrąg o promieniu 5 cm wpisany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 cm. Oblicz długości ramion tego trójkąta ( rozważ dwa przypadki )
  - Zadanie 3.
    Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 7 cm i 12 cm.
  - Zadanie 4.
    Pole trójkąta prostokątnego jest równe 18 cm². Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość 4 cm. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
  - Zadanie 5.
    Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równy 3 : 4. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość 10 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
  - Zadanie 6.
    Uzasadnij, że promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości wyraża się wzorem $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .
  - Zadanie 7.
    Oblicz wysokość oraz pole trójkąta równobocznego, na którym opisano okrąg o promieniu 6 cm.
  - Zadanie 8.
    Oblicz promień okręgu opisanego na równoramiennym trójkącie prostokątnym, którego obwód wynosi $4+2\sqrt{2}$
  - Zadanie 9.
    Na trójkącie równoramiennym rozwartokątnym do którego podstawy poprowadzono wysokość równą 8, opisano okrąg o promieniu 13. Oblicz obwód trójkąta.
- Okrąg wpisany w trójkąt
  - Zadanie 1.
    Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości 7 i 24.
  - Zadanie 2.
    Na okręgu o promieniu długości 4 cm opisano trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 10 cm. Oblicz długość pozostałych boków tego trójkąta.
  - Zadanie 3.
    Na okręgu o promieniu długości 2 cm opisano trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 10 cm. Oblicz długość pozostałych boków tego trójkąta.
  - Zadanie 4.
    Uzasadnij wzór na pole trójkąta $P_{\bigtriangleup }=\frac{a+b+c}{2}\cdot r$ , gdzie są długościami boków trójkąta i długością promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 i 16.
  - Zadanie 5.
    Uzasadnij, że długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku jest równa $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ . Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o promieniu 4.
  - Zadanie 6.
    Na okręgu o promieniu 3 opisano trójkąt równoramienny o kącie między ramionami równym 120^°. Oblicz długości boków tego trójkąta.
  - Zadanie 7.
    Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny o obwodzie równym $12+6\sqrt{2}$
- Twierdzenie sinusów
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż trójkąt, mają dane: a=4, α=45°, β=60°.
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż trójkąt, mają dane: b=5 cm, c=4 cm, β=60°.
  - Zadanie 3.
    Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt w którym a=4, b=8, α=45°.
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż trójkąt w którym dane są a=3, b=5, α=30°.
  - Zadanie 5.
    W $\Delta \, ABC$ dane są: $\left | AC \right |=4,\left | \sphericalangle CAB \right |=30^{\circ},\left | \sphericalangle ACB \right |=105^{\circ}$ . Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.
- Twierdzenie cosinusów
  - Zadanie 1.
    Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC w którym $\left | AB \right |=10,\left | AC \right |=6,\left | \sphericalangle CAB \right |=30^{\circ}$
  - Zadanie 2.
    Wyznacz miary kątów trójkąta o bokach długości $\sqrt{2},2,1+\sqrt{3}$
  - Zadanie 3.
    Sprawdź czy trójkąt o bokach 4, 6, 8 długości jest trójkątem rozwartokątnym?
  - Zadanie 4.
    Oblicz długości boków równoległoboku o bokach długości 3 cm i 5 cm oraz kącie ostrym 30°.
  - Zadanie 5.
    Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie w którym, długości dwóch boków to 1 i 4, a miara kąta zawartego między tymi bokami to 60°.
  - Zadanie 6.
    Boki trójkąta mają długości 4, 8, 10. Oblicz długość środkowej poprowadzonej do najdłuższego boku.