fbpx
  • Planimetria

    Geometria płaszczyzny, zwana również planimetrią, wymaga między innymi znajomości wielokątów, opisywania okręgów na trójkącie i wpisywania ich w trójkąt. Towarzyszące temu obliczenia przedstawiamy w sposób przystępny, nawiązujący do programu szkoły średniej, pozwalający swobodnie poruszać się w tematach związanych z planimetrią.

    • Trójkąty przystające

      • Zadanie 1.

        Udowodnij, że w równoległoboku ABCD trójkąt ABC jest przystający do trójkąta ADC.

      • Zadanie 2.

        Udowodnij, że trójkąt ACB jest przystający do trójkąta DCE, jeśli AB \left | \right | DE i |AC|=|CE|

      • Zadanie 3.

        W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB,  poprowadzono z wierzchołków A i B środkowe AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.

      • Zadanie 4.

        W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB,  poprowadzono z wierzchołków AB dwusieczne AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.

      • Zadanie 5.

        Udowodnij, że każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion kąta.

      • Zadanie 6.

        Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak jak na  rysunku w filmie ( w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty ). Wykaż, że |AD|=|BE|

      • Zadanie 7.

        Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH ( tak  jak na rysunku w filmie ). Udowodnij, że |AC|=|FG|.

    • Trójkąty podobne

      • Zadanie 1.

        Dane są długości boków pierwszego trójkąta wynoszą 6,8,12, a drugiego 9,12,18. Czy trójkąty te są podobne ? Jeżeli są podobne wyznacz skalę podobieństwa.

      • Zadanie 2.

        Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 6, 8, 12. Najdłuższy bok trójkąta A'B'C' jest równy 16 oraz \bigtriangleup ABC\sim A'B'C'. Jaka jest skala podobieństwa tych trójkątów? Oblicz obwód trójkąta A'B'C'.

      • Zadanie 3.

        Trójkąt ABC, którego obwód jest równy 55, jest podobny do trójkąta o bokach długości : 4, 8, 10. Oblicz długości boków trójkąta ABC

      • Zadanie 4.

        Oblicz długość x, jeśli BE||CD ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 5.

        Oblicz długość x, jeśli czworokąt ABCD jest równoległobokiem ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 6.

        Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 12 i 16 jest podobny do trójkąta o obwodzie równym 6. Oblicz długości przeciwprostokątnych obu trójkątów.

      • Zadanie 7.

        W trójkącie prostokątnym ACB o kącie prostym w wierzchołku C poprowadzono wysokość h na podstawę AB. Udowodnij, że h=\frac{ab}{c}  , gdzie  a i b są długościami przyprostokątnych i  c długością przeciwprostokątnej.

      • Zadanie 8.

        W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym w wierzchołku C poprowadzono wysokość h na podstawę AB. Udowodnij, że h^{2}=\left | AD \right |\cdot \left | DB \right |  , gdzie  punkt D jest spodkiem wysokości h na przeciwprostokątną AB.

      • Zadanie 9.

        W okręgu poprowadzono dwie cięciwy AB i CD przecinające się w punkcie P. Udowodnij, że \bigtriangleup PAC\sim \bigtriangleup PDB, następnie wykaż, że \left | PA \right |\cdot \left | PB \right |=\left | PC \right |\cdot \left | PD \right |

      • Zadanie 10.

        Dany jest trapez o podstawach AB i CD. Jego przekątne przecinają się w punkcie O. Uzasadnij, że \bigtriangleup ABO\sim \bigtriangleup CDO  Jaka jest odległość punktu O od krótszej podstawy, jeśli wysokość trapezu wynosi 6 cm, a długości podstaw są odpowiednio równe 4 cm i 8 cm. Oblicz pola trójkątów ABO i CDO.

    • Wielokąty podobne

      • Zadanie 1.

        Prostokąt P_{1} ma boki długości 12 cm i 16 cm. Prostokąt P_{2} ma przekątną długości 25 cm i jeden z boków długości 20 cm. Uzasadnij, że prostokąty są podobne i podaj skalę podobieństwa.

      • Zadanie 2.

        Prostokąt  ma boki długości 12 cm i 15 cm i jest podobny do prostokąta o obwodzie 36 cm. Oblicz długość przekątnej mniejszego prostokąta.

      • Zadanie 3.

        Prostokąt P_{1} ma boki długości 6 cm i 12 cm jest podobny do prostokąta P_{2} o obwodzie 60 cm. Oblicz pole większego prostokąta.

      • Zadanie 4.

        Trapez równoramienny o podstawach długości 4 cm i 9 cm podzielono na dwa trapezy podobne prostą równoległą do podstaw. Oblicz skalę podobieństwa otrzymanych trapezów.

      • Zadanie 5.

        Dany jest prostokąt o bokach długości 1 i x. Po odcięciu kwadratu o boku 1, otrzymujemy prostokąt podobny do prostokąta wyjściowego.
        Wykaż, że x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} ( rysunek w filmie )

    • Trójkąty prostokątne

      • Zadanie 1.

        Oblicz x ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 2.

        Oblicz x ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 3.

        Sprawdź czy trójkąt o bokach długości
        a) \frac{9}{10},\frac{6}{5},\frac{3}{2}  b) 5,9,11 jest prostokątny ?

      • Zadanie 4.

        Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że:
        a) przekątna kwadratu o boku długości a  ma długość a\sqrt{2} 
        b) wysokość h w trójkącie równobocznym ABC o boku długości a, wynosi h=\frac{a\sqrt{3}}{2}.

      • Zadanie 5.

        Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie

      • Zadanie 6.

        Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie

      • Zadanie 7.

        Oblicz pole równoramiennego trójkąta prostokątnego, jeżeli jego obwód jest równy 6\left ( 1+\sqrt{2} \right )

      • Zadanie 8.

        Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ma miarę 120^{0}. Oblicz obwód tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 15 cm.

      • Zadanie 9.

        Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa 2\sqrt{6}+6\sqrt{2}

      • Zadanie 10.

        Oblicz pole trójkąta prostokątnego ABD ( rysunek w filmie ), jeśli pole trójkąta BCD jest równe 3\sqrt{3}  .

    • Pole trójkąta

      • Zadanie 1.

        Udowodnij wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a, P_{\Delta }=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} . Wyznacz obwód  trójkąta równobocznego, jeżeli jego pole wynosi 4\sqrt{3} .

      • Zadanie 2.

        Wyprowadź wzór na pole trójkąta P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2} a bsin\alpha , gdzie a,b są długościami boków trójkąta i kąt \alpha jest kątem zawartym między tymi bokami. Oblicz pole trójkąta ABC, w którym \left | AB \right |=4\sqrt{3},\left | AC \right |=\sqrt{3},\left | \measuredangle ABC \right |=35^{0}\left | \measuredangle ACB \right |=100^{0}

      • Zadanie 3.

        Obwód trójkąta równoramiennego ABC ( rysunek w filmie) jest równy (12+8\sqrt{3}) cm. Punkt P jest środkiem odcinka BC, a punkt R dzieli odcinek AB w stosunku 3:2Oblicz pole trójkąta a) APC b) ARC

      • Zadanie 4.

        W trójkącie równoramiennym o polu 12\sqrt{3} cm^{2} stosunek długości wysokości opuszczonej na podstawę do długości tej podstawy jest równy \frac{\sqrt{3}}{6} .
        Oblicz miary kątów \bigtriangleup.

      • Zadanie 5.

        Zastosuj wzór Herona, na pole trójkąta o bokach długości a,b,c, P_{\bigtriangleup }=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}  , gdzie p=\frac{a+b+c}{2} ( połowa obwodu trójkąta ). Oblicz pole trójkąta o bokach długości 4,7,5.

      • Zadanie 6.

        Dany jest trójkąt, w którym kąt między bokami o długościach x i 2x ma miarę 120^{0}. Uzasadnij, ze pole tego trójkąta jest dwukrotnie większe od pola trójkąta równobocznego o boku długości x.

      • Zadanie 7.

        Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie równej a i kącie przy podstawie 15^{0}. Uzasadnij, że jeśli wysokość opuszczona na podstawę równa się h, to ramię tego trójkąta ma długość \sqrt{2ah}

    • Pole czworokąta

      • Zadanie 1.

        Kąt rozwarty równoległoboku to 120^{o}, oblicz pole tego równoległoboku wiedząc, że długości jego boków to 6 cm i 10 cm.

      • Zadanie 2.

        Uzasadnij wzór na pole równoległoboku P=abin\alpha , gdzie a i b są długościami boków równoległoboku, \alpha jest kątem jaki tworzą te boki. Oblicz pole równoległoboku o bokach długości 6 cm i 10 cm wiedząc, że kąt rozwarty w tym równoległoboku to 150^{o}.

      • Zadanie 3.

        Pole równoległoboku o bokach długości 6 cm i 16 cm jest równe 48 cm2. Oblicz wysokości i miary kątów tego równoległoboku.

      • Zadanie 4.

        Jeden z boków równoległoboku ma długość 15 cm i tworzy z drugim bokiem kąt \alpha taki, że sin\alpha =\frac{2}{3} . Oblicz obwód tego równoległoboku, jeśli pole jest równe 45 cm2.

      • Zadanie 5.

        Uzasadnij wzór na pole równoległoboku ABCDP=\frac{1}{2}\left | AC \right |\left | BC \right |sin\varphi ( \varphi – kąt między przekątnymi równoległoboku ). Oblicz pole równoległoboku, w którym przekątne o długości 10 cm i 14 cm przecinają się pod kątem 300.

      • Zadanie 6.

        Długość boku równoległoboku jest o 3 większa od wysokości opuszczonej na ten bok. Wyznacz długości boków równoległoboku wiedząc, że jego pole jest równe 10 i sin\alpha =\frac{3}{4}, gdzie \alpha jest kątem ostrym równoległoboku.

      • Zadanie 7.

        Ile jest równa wysokość rombu o przekątnych długości 6 cm i 8 cm ?

      • Zadanie 8.

        Oblicz pole rombu o boku długości 13 cm i dłuższej przekątnej równej 24 cm.

      • Zadanie 9.

        Oblicz pole rombu o kącie ostrym 400 i dłuższej przekątnej równej 30 cm.

      • Zadanie 10.

        Oblicz pole rombu o boku 12 i kącie ostrym 600 oraz promień okręgu wpisanego w ten romb.

      • Zadanie 11.

        Obwód rombu jest równy 24 cm, a jego pole 18 cm2. Oblicz miarę kąta ostrego tego rombu.

      • Zadanie 12.

        Przekątne rombu maja długości 12 cm i 16 cm, a jego kąt ostry ma miarę \alpha . Oblicz sin\alpha.

      • Zadanie 13.

        Oblicz pole rombu o boku 17 cm, w którym długości przekątnych różnią się o 14 cm.

      • Zadanie 14.

        Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 10 cm, 6 cm i przekątnej długości 9 cm.

      • Zadanie 15.

        Oblicz pole trapezu prostokątnego o podstawach długości 13 cm i 19 cm oraz kącie ostrym 600.

      • Zadanie 16.

        Oblicz pole trapezu prostokątnego o ramionach długości 5 cm i 10 cm oraz krótszej podstawie długości 4 cm.

      • Zadanie 17.

        W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 450 i polu równym 90 cm2 dłuższa przekątna tworzy z podstawami kąt \alpha taki, że tg\alpha =\frac{1}{3} . Oblicz obwód tego trapezu.

      • Zadanie 18.

        Oblicz pole trapezu prostokątnego ABCD w którym \left | BC \right | = 10 cm, \left | AB \right | = 14 cm, sinus kąta CBA wynosi \frac{\sqrt{5}}{3}

      • Zadanie 19.

        Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego kąt ostry ma miarę 300, a podstawy mają długości 4 cm i 10 cm.

      • Zadanie 20.

        Oblicz pole i miary kątów trapezu równoramiennego o podstawach długości 6\sqrt{3}  cm i 2\sqrt{3} cm opisanego na okręgu o promieniu 3 cm.

    • Długość okręgu i pole koła

      • Zadanie 1.

        a) Oblicz długość łuku okręgu o promieniu 9 wyznaczonego przez kąt 1200

        b) Jaką miarę ma kąt AOB, jeśli punkty A, B leżące na okręgu o środku O i promieniu 8, wyznaczają łuk długości 2\pi

      • Zadanie 2.

        Punkty A i B leżą na okręgu o średnicy 10 cm, \left | AB \right | = 5 cm. Ile jest równa długość łuku AB

      • Zadanie 3.

        a) Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o obwodzie równym 32
        b) Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku 6

      • Zadanie 4.

        a) Oblicz pole wycinka koła o promieniu 9 wyznaczonego przez kąt 400
        b) Pole wycinka koła o promieniu 6 wyznaczonego przez kąt jest równe 2\pi. Oblicz miarę kąta \alpha

      • Zadanie 5.

        Punkty A, B należące do okręgu o środku O i promieniu 4 wyznaczają kąt AOB o mierze 600. Oblicz pole odcinka koła wyznaczonego przez ten kąt.

      • Zadanie 6.

        Punkty A, B należące do okręgu o środku O i promieniu 12 wyznaczają kąt AOB o mierze 900. Oblicz pole odcinka koła wyznaczonego przez ten kąt.

      • Zadanie 7.

        W kole o promieniu 4 poprowadzono cięciwę o długości 4\sqrt{2}. Oblicz pola figur, na które podzieliła ona koło.

    • Kąty w okręgu

      • Zadanie 1.

        Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ,\gamma ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 2.

        Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ,\gamma  ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 3.

        Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ,\gamma  ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 4.

        Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ,\gamma ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 5.

        Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ,\gamma ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 6.

        Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ,\gamma ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 7.

        Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 8.

        Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 9.

        Wyznacz miarę kąta \alpha ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 10.

        Wyznacz miarę kąta \alpha ( rysunek w filmie )

    • Okrąg opisany na trójkącie

      • Zadanie 1.

        W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę 45^{o}, a podstawa ma długość 4 cm. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

      • Zadanie 2.

        W okrąg o promieniu 5 cm wpisany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 cm. Oblicz długości ramion tego trójkąta ( rozważ dwa przypadki )

      • Zadanie 3.

        Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 7 cm i 12 cm.

      • Zadanie 4.

        Pole trójkąta prostokątnego jest równe 18 cm^{2} . Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość 4 cm. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. 

      • Zadanie 5.

        Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równy 3:4. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość 10 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

      • Zadanie 6.

        Uzasadnij, że promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości a wyraża się wzorem R=\frac{a\sqrt{3}}{3} .

      • Zadanie 7.

        Oblicz wysokość oraz pole trójkąta równobocznego, na którym opisano okrąg o promieniu 6 cm.

      • Zadanie 8.

        Oblicz promień okręgu opisanego na równoramiennym trójkącie prostokątnym, którego obwód wynosi  4+2\sqrt{2}

      • Zadanie 9.

        Na trójkącie równoramiennym rozwartokątnym do którego podstawy poprowadzono wysokość równą 8, opisano okrąg o promieniu 13. Oblicz obwód trójkąta.

    • Okrąg wpisany w trójkąt

      • Zadanie 1.

        Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości 7 i 24.

      • Zadanie 2.

        Na okręgu o promieniu długości 4 cm opisano trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 10 cm. Oblicz długość pozostałych boków tego trójkąta.

      • Zadanie 3.

        Na okręgu o promieniu długości 2 cm opisano trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 10 cm. Oblicz długość pozostałych boków tego trójkąta.

      • Zadanie 4.

        Uzasadnij wzór na pole trójkąta P_{\bigtriangleup }=\frac{a+b+c}{2}\cdot r , gdzie a,b,c są długościami boków trójkąta i r długością promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 i 16.

      • Zadanie 5.

        Uzasadnij, że długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a jest równa \frac{a\sqrt{3}}{6} . Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o promieniu 4.

      • Zadanie 6.

        Na okręgu o promieniu 3 opisano trójkąt równoramienny o kącie między ramionami równym 120^{0}. Oblicz długości boków tego trójkąta.

      • Zadanie 7.

        Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny o obwodzie równym 12+6\sqrt{2}