fbpx
  • Geometria analityczna

    Wiedza o figurach umieszczonych w układzie współrzędnych to to podstawy geometrii analitycznej. Zacząć możesz od prostych zadań dotyczących długości odcinka i przejść kolejno wszystkie etapy proponowane przez nas w kolejnych zadaniach. Spójność poziomu kolejnych zagadnień pozwala płynnie przejść do kwestii bardziej złożonych.

    • Długość odcinka

      • Zadanie 1.

        Oblicz długość odcinka:

        a) AB, jeśli A=(-3,-1),  B=(-5,-1) 

        b) CD jeśli  C=\left (3+\sqrt{3},\sqrt{7} \right ), D=\left ( \sqrt{3},-4+\sqrt{7} \right )

      • Zadanie 2.

        Sprawdź, czy trójkąt ABC jest równoramienny jeśli A=(1,3) B=(6,4) C=(4,-1)

      • Zadanie 3.

        Sprawdź, czy trójkąt ABC jest prostokątny jeśli A=(3,0) B=(-6,8) C=(-2,-2)

      • Zadanie 4.

        Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB jeżeli A=(-2,6) B=(10,0) 

      • Zadanie 5.

        Dany jest punkt P=(2,7). Wyznacz taki punkt S na osi OX,  aby jego odległość od punktu P wyniosła \sqrt{74}

      • Zadanie 6.

        Na prostej o równaniu y=2x wyznacz punkt, który jest jednakowo odległy od punktów A=(3,1), B=(7,3)

    • Środek odcinka

      • Zadanie 1.

        Wyznacz współrzędne środka odcinka:

        a) AB jeśli A=(-2,-4) B=(4,6)

        b) CD jeśli C=\left (-\sqrt{2},-3 \right ) D=\left ( \sqrt{2}+2,\sqrt{3}+3 \right )

      • Zadanie 2.

        Wyznacz współrzędne punktu K wiedząc, że środkiem odcinka MK jest punkt S=(-1,3) i M=(2,5)

      • Zadanie 3.

        Dane są punkty A=(x,-2) B=(7,y). Oblicz długość odcinka AB, jeżeli jego środkiem jest punkt K(2,1)

      • Zadanie 4.

        W równoległoboku dane są sąsiednie wierzchołki A=(4,2), B=(1,6). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków równoległoboku oraz jego obwód, jeżeli przekątne przecinają się w punkcie S=(0,3)

    • Układy równań

      • Zadanie 1.

        Rozwiąż układ  równań 

        \left\{\begin{matrix} 2x-3y=1\\3x-4y=2 \end{matrix}\right.

         metodą podstawiania.

      • Zadanie 2.

        Rozwiąż układy równań metodą podstawiania

        a) \left\{\begin{matrix} 2x-3y=1\\ 4x-6y=2\end{matrix}\right.      

        b) \left\{\begin{matrix} -x+3y=4\\ 2x-6y=-1\end{matrix}\right.  

      • Zadanie 3.

        Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

        a) \left\{\begin{matrix} 5x-3y=2\\ 3x-2y=1\end{matrix}\right.

        b) \left\{\begin{array}{l} -x+3y-4=0\\ 2x-6y=-8\end{array}\right.

      • zadanie 4.

        Rozwiąż układ równań algebraicznie i graficznie

        \left\{\begin{matrix} 2x-y=5\\ x-2y=1\end{matrix}\right.

      • Zadanie 5.

        Rozwiąż układ równań algebraicznie i graficznie

        \left\{\begin{matrix} 2x-y=5\\ -x+\frac{1}{2}y=1\end{matrix}\right.

      • Zadanie 6.

        Rozwiąż układ równań algebraicznie i graficznie

        \left\{\begin{matrix} -2x+y=5\\ -x+\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.

      • Zadanie 7.

        Do równania 3x+2y=3 dopisz drugie równanie tak, aby otrzymać układ równań
        a) oznaczony b) nieoznaczony c) sprzeczny

      • Zadanie 8.

        Dla jakich wartości parametrów m i k para liczb: x=3, y=2 jest rozwiązaniem układu równań :

        \left\{\begin{array}{l} mx+ky=5\\ (k-1)x-2my=-4\end{array}\right.

      • Zadanie 9.

        Dla jakich wartości parametru a układ równań 

        a) \left\{\begin{matrix} ay-3x=-2\\ 3x-5y=2\end{matrix}\right.  jest układem nieoznaczonym 

        b) \left\{\begin{matrix} 2ax-5y=4\\ 4x+\frac{3}{2}y=-1\end{matrix}\right.   jest układem sprzecznym ?

      • Zadanie 10.

        Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach

        a) 2x-3y-5=0\, \, i\,\, -3x-y+2=0    

        b) y=\frac{1}{2}x-1\, \, i\, \, y=-3x+7

      • Zadanie 11.

        Sprawdź algebraicznie czy punkty A=(-2,-5) B=(-123,-247) C=(4,7) są współliniowe ?

      • Zadanie 12.

        Wyznacz t, wiedząc, że punkty A=(t,0)  B=(-2,-6)  C=(2,-3) należą do tej samej prostej.

      • Zadanie 13.

        Wierzchołki B i C trójkąta prostokątnego ABC są punktami przecięcia prostej y=-\frac{3}{4}x+3 z osiami układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne wierzchołka A, jeśli przeciwprostokątna AB jest zawarta w prostej o równaniu y=\frac{1}{2}x-2

      • Zadanie 14.

        Wyznacz równanie prostej AB jeżeli A=(-2,5) B=(4,-7), a następnie wyznacz współrzędne punktu przecięcia tej prostej z prostą o równaniu y=\frac{1}{2}x+2

    • Równanie prostej na płaszczyźnie

      • Zadanie 1.

        Wyznacz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty

        a) A=(1,3) B=(-3, -5)

        b) C=(-4,-2) D=(1,3)

      • Zadanie 2.

        Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej AB jeśli:
        a) A=(-1,-3),B=(-3,-5)
        b) A=(\sqrt{2},2),B=(\sqrt{3},-3)

      • Zadanie 3.

        Wyznacz równanie kierunkowe prostej CD, jeżeli C=(-2,4) D=(3,-5) korzystając ze wzoru y=a(x-x_{0})+y_{0}

      • Zadanie 4.

        Wyznacz równanie ogólne prostej AB jeżeli  A=(-1,-4) B=(2,5)

      • Zadanie 5.

        Wyznacz równanie ogólne prostej AB jeżeli  a) A=(-1,-4) B=(2,-4) b) A=(-3,5) B=(-3,-2)

    • Proste równoległe

      • Zadanie 1.

        Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y=2x-3 i przechodzącej przez punkt A=\left (-3,4\right )

      • Zadanie 2.

        Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x + 4y – 7 = 0 i przechodzącej przez punkt A=(2,4)

      • Zadanie 3.

        Wyznacz równanie prostej zawierającej bok CD równoległoboku ABCD wiedząc, że A=(-2,-3) B=(3,1) C=(1,4)

      • Zadanie 4.

        Dla jakiej wartości parametru m proste o danych równaniach są równoległe 
        a) y = -3x – 4  i y = ( m2 – 4 )x -7
        b) ( m – 2 )x -3y +4 = 0 i y = 3x -6

      • Zadanie 5.

        Sprawdź czy czworokąt o wierzchołkach A=(-5,-3) B=(4,-1) C=(7,4) D=(-2,2) jest równoległobokiem.

    • Proste prostopadłe

      • Zadanie 1.

        Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y=-2x-3 i przechodzącej przez punkt A=\left (5,4\right )

      • Zadanie 2.

        Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu 2x-4y+3=0  i przechodzącej przez punkt B=(-1,4)

      • Zadanie 3.

        Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
        a) y=3  i przechodzącej przez punkt C=(-2,4)
        b) x=2 i przechodzącej przez punkt A=(-4,1)

      • Zadanie 4.

        Sprawdź algebraicznie czy trójkąt ABC jest prostokątny jeśli A=(-2,-1) B=(0,-3) C=(4,5)

      • Zadanie 5.

        Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD. Wyznacz równania prostych, w których są zawarte przekątne tego rombu, jeżeli A=(-2,-6) B=(5,-3) C(8,4)

      • Zadanie 6.

        Punkty A=(0,0) i C(2,8) są wierzchołkami prostokąta ABCD, którego przekątna BD zawarta jest w prostej o równaniu y=-\frac{1}{4}x+\frac{17}{4}. Uzasadnij, że prostokąt jest kwadratem.

      • Zadanie 7.

        Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość w trójkącie ABC opuszczoną z wierzchołka B, jeśli A=(-3,-2) B=(4,1) C=(2,5)

      • Zadanie 8.

        Wyznacz równanie symetralnej odcinka CD, jeśli C=(-3,2) D=(5,6)

      • Zadanie 9.

        Dla jakich wartości parametru m proste o równaniach y=(m^{2}-5m+6)x+3\, \, i\, \, y=-\frac{1}{2}x-5 są prostopadłe ?

      • Zadanie 10.

        Punkty A=(2,5) i C(6,7) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD.

      • Zadanie 11.

        Punkty A=(2,0) i B=(12,0)  są  wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=x. Oblicz współrzędne punktu C.

      • Zadanie 12.

        Okrąg ośrodku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x-3. Oblicz współrzędne punktu styczności.

    • Odległość punktu od prostej

      • Zadanie 1.

        Oblicz odległość punktu:

        a) P=\left (-1,3\right ) od prostej o równaniu  3x-4y+6=0

        b)  A=\left (2,-3\right ) od prostej o równaniu y=\frac{2}{3}x-1

      • Zadanie 2.

        Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A=(-1,0) B=(1,2) C=(2,-2)

      • Zadanie 3.

        Podstawa AB trójkąta ABC jest zawarta w prostej l o równaniu y=3x+6. Oblicz pole tego trójkąta wiedząc, że punkty A i B są punktami przecięcia prostej l z osiami układu współrzędnych i C=(2,-4)

      • Zadanie 4.

        Punkty A i B są punktami przecięcia prostej o równaniu y=\frac{3}{5}x-6 z osiami układu współrzędnych. Oblicz pole równoległoboku ABCD, którego wierzchołek D=(1,4)

      • Zadanie 5.

        Oblicz odległość między prostymi o równaniach 3x-2y-4=0\, \, i\, \, y=\frac{3}{2}x+1

      • Zadanie 6.

        Wyznacz równanie prostej k równoległej do prostej m: y=2x-3, jeżeli odległość między tymi prostymi jest równa 4.

    • Symetria osiowa i symetria środkowa

      • Zadanie 1.

        Wyznacz współrzędne obrazu punktu A=(-2,3) w symetrii względem:
        a) osi OX
        b) osi OY
        c) punktu (0,0)
        d) punktu (-3,5)

      • Zadanie 2.

        Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25 w symetrii względem osi
        a) OX
        b) osi OY
        c) punktu (0,0)

      • Zadanie 3.

        Wyznacz równanie prostej będącej obrazem prostej o równaniu y=-2x+1 w symetrii względem
        a) osi OX
        b) osi OY
        c) punktu A=(0,0)

      • Zadanie 4.

        Wyznacz równanie prostej będącej obrazem prostej o równaniu y=-2x+1 w symetrii względem punktu A=(-1,-3)

      • Zadanie 5.

        Wyznacz a i b wiedząc, że punkt A’=(-a+2,4) jest obrazem punktu A=(-5,b+3) w symetrii względem a) osi OX  b) osi OY

    • Równanie okręgu

      • Zadanie 1.

        Wyznacz równanie okręgu:

        a) o środku w punkcie S=(-1,3) i promieniu 3

        b) o środku S=(2,-3), wiedząc, że przechodzi on przez punkt A=(-4,5)

      • Zadanie 2.

        Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB gdzie A=(1,2) B=(7,2)

      • Zadanie 3.

        Dla jakich wartości parametru k punkt P=(-6,-1) należy do okręgu o środku w punkcie S=(k,-1) i promieniu 4?

      • Zadanie 4.

        Wyznacz promień i współrzędne środka okręgu o równaniu
        a) x^{2}+y^{2}+2x+10y-10=0 
        b) x^{2}+y^{2}-4x=0

      • Zadanie 5.

        Sprawdź czy podane równanie jest równaniem okręgu
        a) x^{2}+y^{2}+6x-4y+13=0 
        b) x^{2}+y^{2}-x-3y+3=0

      • Zadanie 6.

        Wyznacz równanie okręgu o promieniu r=3\sqrt{5} przechodzącego przez punkty A=(2,1) B(2,-5)

      • Zadanie 7.

        Prosta l:y=\frac{1}{2}x+4 jest styczną do okręgu, którego środkiem jest punkt A=(-3,0). Wyznacz długość promienia i zapisz równanie tego okręgu.

      • Zadanie 8.

        Ile punktów wspólnych z okręgiem o równaniu (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=4 ma prosta o równaniu y=-\frac{1}{2}x+3