Geometria analityczna • Strona 4 z 6 • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP
Geometria analityczna

Geometria analityczna
Wiedza o figurach umieszczonych w układzie współrzędnych to to podstawy geometrii analitycznej. Zacząć możesz od prostych zadań dotyczących długości odcinka i przejść kolejno wszystkie etapy proponowane przez nas w kolejnych zadaniach. Spójność poziomu kolejnych zagadnień pozwala płynnie przejść do kwestii bardziej złożonych.
- Długość odcinka
  - Zadanie 1.
    Oblicz długość odcinka:
    
    a) AB, jeśli A=(-3,-1), B=(-5,-1)
    
    b) CD jeśli $C=\left (3+\sqrt{3},\sqrt{7} \right )$ , $D=\left ( \sqrt{3},-4+\sqrt{7} \right )$
  - Zadanie 2.
    Sprawdź, czy trójkąt ABC jest równoramienny jeśli A=(1,3) B=(6,4) C=(4,-1)
  - Zadanie 3.
    Sprawdź, czy trójkąt ABC jest prostokątny jeśli A=(3,0) B=(-6,8) C=(-2,-2)
  - Zadanie 4.
    Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB jeżeli A=(-2,6) B=(10,0)
  - Zadanie 5.
    Dany jest punkt P=(2,7). Wyznacz taki punkt S na osi OX, aby jego odległość od punktu P wyniosła $\sqrt{74}$
  - Zadanie 6.
    Na prostej o równaniu y=2x wyznacz punkt, który jest jednakowo odległy od punktów A=(3,1), B=(7,3)
- Środek odcinka
  - Zadanie 1.
    Wyznacz współrzędne środka odcinka:
    
    a) AB jeśli A=(-2,-4) B=(4,6)
    
    b) CD jeśli $C=\left (-\sqrt{2},-3 \right )$ $D=\left ( \sqrt{2}+2,\sqrt{3}+3 \right )$
  - Zadanie 2.
    Wyznacz współrzędne punktu K wiedząc, że środkiem odcinka MK jest punkt S=(-1,3) i M=(2,5)
  - Zadanie 3.
    Dane są punkty A=(x,-2) B=(7,y). Oblicz długość odcinka AB, jeżeli jego środkiem jest punkt K=(2,1)
  - Zadanie 4.
    W równoległoboku dane są sąsiednie wierzchołki A=(4,2), B=(1,6). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków równoległoboku oraz jego obwód, jeżeli przekątne przecinają się w punkcie S=(0,3)
- Równanie prostej na płaszczyźnie
  - Zadanie 1.
    Wyznacz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty
    
    a) A=(1,3) B=(-3, -5)
    
    b) C=(-4,-2) D=(1,3)
  - Zadanie 2.
    Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej AB jeśli:
    a)
    b) $A=(\sqrt{2},2),B=(\sqrt{3},-3)$
  - Zadanie 3.
    Wyznacz równanie kierunkowe prostej CD, jeżeli C=(-2,4) D=(3,-5) korzystając ze wzoru y = a(x – x_o) + y_o
  - Zadanie 4.
    Wyznacz równanie ogólne prostej AB jeżeli A=(-1,-4) B=(2,5)
  - Zadanie 5.
    Wyznacz równanie ogólne prostej AB jeżeli a) A=(-1,-4) B=(2,-4) b) A=(-3,5) B=(-3,-2)
- Proste równoległe
  - Zadanie 1.
    Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y =2x -3 i przechodzącej przez punkt A=(-3,4)
  - Zadanie 2.
    Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x + 4y – 7 = 0 i przechodzącej przez punkt A=(2,4)
  - Zadanie 3.
    Wyznacz równanie prostej zawierającej bok CD równoległoboku ABCD wiedząc, że A=(-2,-3) B=(3,1) C=(1,4)
  - Zadanie 4.
    Dla jakiej wartości parametru m proste o danych równaniach są równoległe
    a) y = -3x – 4 i y = ( m² – 4 )x -7
    b) ( m – 2 )x -3y +4 = 0 i y = 3x -6
  - Zadanie 5.
    Sprawdź czy czworokąt o wierzchołkach A=(-5,-3) B=(4,-1) C=(7,4) D=(-2,2) jest równoległobokiem.
- Proste prostopadłe
  - Zadanie 1.
    Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = -2x – 3 i przechodzącej przez punkt A=(5,4)
  - Zadanie 2.
    Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu 2x-4y+3=0 i przechodzącej przez punkt B=(-1,4)
  - Zadanie 3.
    Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
    a) y=3 i przechodzącej przez punkt C=(-2,4)
    b) x=2 i przechodzącej przez punkt A=(-4,1)
  - Zadanie 4.
    Sprawdź algebraicznie czy trójkąt ABC jest prostokątny jeśli A=(-2,-1) B=(0,-3) C=(4,5)
  - Zadanie 5.
    Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD. Wyznacz równania prostych, w których są zawarte przekątne tego rombu, jeżeli A=(-2,-6) B=(5,-3) C(8,4)
  - Zadanie 6.
    Punkty A=(0,0) i C(2,8) są wierzchołkami prostokąta ABCD, którego przekątna BD zawarta jest w prostej o równaniu $y=-\frac{1}{4}x+\frac{17}{4}$ . Uzasadnij, że prostokąt jest kwadratem.
  - Zadanie 7.
    Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość w trójkącie ABC opuszczoną z wierzchołka B, jeśli A=(-3,-2) B=(4,1) C=(2,5)
  - Zadanie 8.
    Wyznacz równanie symetralnej odcinka CD, jeśli C=(-3,2) D=(5,6)
  - Zadanie 9.
    Dla jakich wartości parametru m proste o równaniach $y=(m^{2}-5m+6)x+3\, \, i\, \, y=-\frac{1}{2}x-5$ są prostopadłe ?
  - Zadanie 10.
    Punkty A=(2,5) i C(6,7) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD.
  - Zadanie 11.
    Punkty A=(2,0) i B=(12,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=x. Oblicz współrzędne punktu C.
  - Zadanie 12.
    Okrąg ośrodku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x-3. Oblicz współrzędne punktu styczności.
- Odległość punktu od prostej
  - Zadanie 1.
    Oblicz odległość punktu:
    
    a) P=(-1,3) od prostej o równaniu 3x – 4y + 6 = 0
    
    b) A=(2,-3) od prostej o równaniu $y=\frac{2}{3}x-1$
  - Zadanie 2.
    Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A=(-1,0) B=(1,2) C=(2,-2)
  - Zadanie 3.
    Podstawa AB trójkąta ABC jest zawarta w prostej l o równaniu y=3x+6. Oblicz pole tego trójkąta wiedząc, że punkty A i B są punktami przecięcia prostej l z osiami układu współrzędnych i C=(2,-4)
  - Zadanie 4.
    Punkty A i B są punktami przecięcia prostej o równaniu $y=\frac{3}{5}x-6$ z osiami układu współrzędnych. Oblicz pole równoległoboku ABCD, którego wierzchołek D=(1,4)
  - Zadanie 5.
    Oblicz odległość między prostymi o równaniach $3x-2y-4=0\, \, i\, \, y=\frac{3}{2}x+1$
  - Zadanie 6.
    Wyznacz równanie prostej k równoległej do prostej m: y = 2x -3, jeżeli odległość między tymi prostymi jest równa 4.
- Symetria osiowa i symetria środkowa
  - Zadanie 1.
    Wyznacz współrzędne obrazu punktu A=(-2,3) w symetrii względem:
    a) osi OX
    b) osi OY
    c) punktu (0,0)
    d) punktu (-3,5)
  - Zadanie 2.
    Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu (x -3)² + (y +4)² = 25 w symetrii względem osi
    a) OX
    b) osi OY
    c) punktu (0,0)
  - Zadanie 3.
    Wyznacz równanie prostej będącej obrazem prostej o równaniu y = -2x +1 w symetrii względem
    a) osi OX
    b) osi OY
    c) punktu A=(0,0)
  - Zadanie 4.
    Wyznacz równanie prostej będącej obrazem prostej o równaniu y = -2x +1 w symetrii względem punktu A=(-1,-3)
  - Zadanie 5.
    Wyznacz a i b wiedząc, że punkt A’=(-a+2,4) jest obrazem punktu A=(-5,b+3) w symetrii względem a) osi OX b) osi OY
- Równanie okręgu
  - Zadanie 1.
    Wyznacz równanie okręgu:
    
    a) o środku w punkcie S=(-1,3) i promieniu 3
    
    b) o środku S=(2,-3), wiedząc, że przechodzi on przez punkt A=(-4,5)
  - Zadanie 2.
    Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB gdzie A=(1,2) B=(7,2)
  - Zadanie 3.
    Dla jakich wartości parametru k punkt P=(-6,-1) należy do okręgu o środku w punkcie S=(k,-1) i promieniu 4?
  - Zadanie 4.
    Wyznacz promień i współrzędne środka okręgu o równaniu
    a) x² + y² +2x +10y – 10 = 0
    b) x² + y² -4x = 0
  - Zadanie 5.
    Sprawdź czy podane równanie jest równaniem okręgu
    a) x² + y² + 6x – 4y +13 = 0
    b) x² + y² – x – 3y +3 = 0
  - Zadanie 6.
    Wyznacz równanie okręgu o promieniu $r=3\sqrt{5}$ przechodzącego przez punkty A=(2,1) B(2,-5)
  - Zadanie 7.
    Prosta $l:y=\frac{1}{2}x+4$ jest styczną do okręgu, którego środkiem jest punkt A=(-3,0). Wyznacz długość promienia i zapisz równanie tego okręgu.
  - Zadanie 8.
    Ile punktów wspólnych z okręgiem o równaniu (x -3)² + (y + 2)² = 4 ma prosta o równaniu $y=-\frac{1}{2}x+3$
- Wektory w układzie współrzędnych
  - Zadanie 1.
    Dane są punkty A=(-1,-3), B=(5,1), C=(2,8). Oblicz
    a) współrzędne wektorów $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CB}$ b) długości wektorów $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CB}$
  - Zadanie 2.
    Dane są punkty A=(-2,0), B=(3,5), C=(6,4) .Wyznacz współrzędne punktu D, tak aby wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{CD}$ były równe.
  - Zadanie 3.
    W równoległoboku ABCD dane są A=(-6,-3), B=(5,-1), C=(2,4). Wyznacz współrzędne wierzchołka D.
  - Zadanie 4.
    Wyznacz współrzędne wektora $\vec{a}=2\cdot \vec{u}+3\cdot \vec{v}-\frac{1}{2}\cdot \vec{w}$ jeżeli $\vec{u}=\left [ -1,3 \right ],\vec{v}=\left [ 2-4 \right ],\vec{w}=\left [ 6,-2 \right ]$
  - Zadanie 5.
    Udowodnij, że środkiem odcinka AB, gdzie $A=(x_{A},y_{A})$ , $B=\left ( x_{B},y_{B} \right )$ jest punkt $S=\left ( \frac{x_{A}+x_{B}}{2},\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \right )$ .
  - Zadanie 6.
    Na odcinku AB wyznacz taki punkt P, aby spełniony był warunek |AP|:|PB|=3:1 wiedząc, że A=(-2,3), B=(6,5).
  - Zadanie 7.
    Wyznacz współrzędne środka ciężkości trójkąta ABC, jeżeli A=(2,2), B=(0,-2), C=(5/2,-3).