Trójkąty • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Trójkąty
- Klasyfikacja trójkątów
  - Zadanie 1.
    Czy istnieje trójkąt o bokach długości a) 3 cm, 4 cm, 6 cm b) 3 cm, 3 cm, 7 cm?
  - Zadanie 2.
    Oblicz miarę trzeciego kąta trójkąta, którego dwa kąty mają miary:
    a) 35⁰ i 70⁰b) kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego maja miarę 48⁰
  - Zadanie 3.
    Oblicz miary kątów w trójkącie prostokątnym równoramiennym.
  - Zadanie 4.
    Oblicz miary kątów w trójkącie ABC, wiedząc, że ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 5.
    Dany jest trójkąt równoramienny ( rysunek w filmie ) . Oblicz miarę kąta .
  - Zadanie 6.
    Dany jest trójkąt równoramienny ABC ( rysunek w filmie ) . Oblicz miarę kąta .
  - Zadanie 7.
    Wyznacz miary kątów w trójkącie, wiedząc, że stosunek miar tych kątów to a) 1:2:3 b) 1:5:6.
  - Zadanie 8.
    Wyznacz sumę kątów , na podstawie rysunku w filmie.
  - Zadanie 9.
    W trójkącie równoramiennym, w którym , odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta BAC. Oblicz miary katów trójkąta ABD ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 10.
    W trójkącie równoramiennym, w którym , półproste AO i BO dzielą kąty przy podstawie na połowy. Oblicz miarę kąta ( rysunek w zadaniu )
- Cechy przystawania trójkątów
  - Zadanie 1.
    Czy trójkąty ABC i DEF są przystające? ( rysunki w filmie )
  - Zadanie 2.
    Czy trójkąty ABC i DEF są przystające? ( rysunki w filmie )
  - Zadanie 3.
    Udowodnij, że w równoległoboku ABCD trójkąt ABC jest przystający do trójkąta ADC.
  - Zadanie 4.
    Udowodnij, że trójkąt ACB jest przystający do trójkąta DCE, jeśli AB II DE i IACI=ICEI
  - Zadanie 5.
    W trójkącie równoramiennym ABC, o podstawie AB, poprowadzono z wierzchołków AB środkowe AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.
  - Zadanie 6.
    W trójkącie równoramiennym ABC, o podstawie AB, poprowadzono z wierzchołków A i B dwusieczne AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.
  - Zadanie 7.
    Udowodnij, że każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion kąta.
  - Zadanie 8.
    Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak jak na rysunku w filmie ( w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty ). Wykaż, że |AD|=|BE|.
  - Zadanie 9.
    Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF BCGH ( tak jak na rysunku w filmie ). Udowodnij, że |AC|=|FG|.
- Twierdzenie Pitagorasa
  - Zadanie 1.
    W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 cm i 5 cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna?
  - Zadanie 2.
    W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 4 cm, a przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{21}$ cm. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.
  - Zadanie 3.
    Oblicz długość odcinka AB ( rysunek w zadaniu )
  - Zadanie 4.
    Oblicz długość wysokości w trójkącie równoramiennym, którego podstawa ma długość 6 cm, a ramię ma długość 9 cm.
  - Zadanie 5.
    W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych to 8 cm, a długość drugiej przyprostokątnej jest o 2 cm krótsza od długości przeciwprostokątnej. Oblicz jaka jest długość przeciwprostokątnej w tym trójkącie?
  - Zadanie 6.
    W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych to 3 cm, a długość przeciwprostokątnej jest o 2 cm dłuższa od długości drugiej przyprostokątnej. Oblicz odwód trójkąta.
  - Zadanie 7.
    Drabinę długości 4 m oparto o pionową ścianę. Odległość dolnej części drabiny od ściany to 1,5 m. Oblicz na jakiej wysokości oparto drabinę.
  - Zadanie 8.
    Samolot leci 12 km na południe, potem 16 km na wschód, po czym ląduje na lotnisku. Oblicz odległość lotniska od startu samolotu.
  - Zadanie 9.
    Oblicz x ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 10.
    Oblicz x ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 11.
    Sprawdź czy trójkąt o bokach długości:
    
    a) $\frac{9}{10},\frac{6}{5},\frac{3}{2}$ ,
    
    b) 5,9,11
    
    jest prostokątny ?
  - Zadanie 12.
    Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że przekątna kwadratu o boku długości ma długość $a\sqrt{2}$
  - Zadanie 13.
    Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że wysokość h w trójkącie równobocznym ABC o boku długości , wynosi $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .
- Trójkąty prostokątne
  - Zadanie 1.
    W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym przeciwprostokątna ma długość 8 cm. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.
  - Zadanie 2.
    W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym przeciwprostokątna ma długość 4 cm. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.
  - Zadanie 3.
    W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym dłuższa przyprostokątna ma długość 10 . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
  - Zadanie 4.
    W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym krótsza przyprostokątna ma długość 6 . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
  - Zadanie 5.
    Oblicz obwód trójkąta prostokątnego ABC ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 6.
    Oblicz obwód równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 7.
    Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie.
  - Zadanie 8.
    Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie.
  - Zadanie 9.
    Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|, ma miarę . Oblicz obwód tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 15 cm.
  - Zadanie 10.
    Oblicz długość krótszej przyprostokątnej trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa $2\sqrt{6}+4\sqrt{2}$ .
  - Zadanie 11.
    Oblicz obwód trójkąta prostokątnego ADB ( rysunek w filmie ), jeśli |BC|=6.
- Pole trójkąta
  - Zadanie 1.
    Oblicz pole trójkąta ABC przedstawionego na rysunku ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 2.
    Oblicz długość odcinka
    a) jeżeli $P_{\bigtriangleup }=60$
    b) jeżeli $P_{\bigtriangleup }=28$
    c) jeżeli $P_{\bigtriangleup }=12$
  - Zadanie 3.
    Oblicz długość odcinka AD ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 4.
    Oblicz długość odcinka CD ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 5.
    Oblicz pole równoramiennego trójkąta prostokątnego, jeżeli jego obwód jest równy $6(2+\sqrt{2})$
  - Zadanie 6.
    Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ma miarę . Oblicz pole tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 16 cm.
  - Zadanie 7.
    Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa $4\sqrt{6}+8\sqrt{2}$ .
  - Zadanie 8.
    Oblicz pole trójkąta prostokątnego ADB ( rysunek w filmie ), jeśli pole trójkąta BDC jest równe $3\sqrt{3}$ .
  - Zadanie 9.
    Udowodnij wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a, $P_{\bigtriangleup}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ . Wyznacz obwód trójkąta równobocznego, jeżeli jego pole wynosi $4\sqrt{3}$ .
  - Zadanie 10.
    W trójkącie równoramiennym o polu $12\sqrt{3}$ $cm^{2}$ stosunek długości wysokości opuszczonej na podstawę do długości tej podstawy jest równy $\frac{\sqrt{3}}{6}$ . Oblicz długość podstawy i wysokości tego trójkąta.
  - Zadanie 11.
    Udowodnij, że pole trójkąta równoramiennego ABC, o kącie przy podstawie $30^{0}$ jest równe polu trójkąta równobocznego, którego długość boku jest równa długości ramienia trójkąta ABC