• Figury geometryczne na płaszczyźnie

    Kurs z geometrii na płaszczyźnie tzw. planimetrii, pozwoli Ci poznać metody obliczanie obwodów i pól figur geometrycznych według wzorów, pozwoli Ci z powodzeniem rozwiązać różne zadania geometryczne. Poznasz też rodzaje kątów i ich własności w poszczególnych figurach geometrycznych. Geometria rozwija  wyobraźnię, jakże potrzebną w codziennym życiu.

    • Rodzaje kątów

      • Zadanie 1.

        Wyznacz miary kątów  na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 2.

        Wyznacz miary kątów  na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 3.

        Wyznacz miary kątów  na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 4.

        Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 5.

        Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 6.

        Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 7.

        Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 8.

        Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 9.

        Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek poniżej ), wiedząc, że DC || AB

    • Trójkąty

      • Klasyfikacja trójkątów

        • Zadanie 1.

          Czy istnieje trójkąt o bokach długości a) 3 cm, 4 cm, 6 cm b) 3 cm, 3 cm, 7 cm?

        • Zadanie 2.

          Oblicz miarę trzeciego kąta trójkąta, którego dwa kąty mają miary:
          a) 350 i 700
          b) kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego maja miarę 480

        • Zadanie 3.

          Oblicz miary kątów w trójkącie prostokątnym równoramiennym.

        • Zadanie 4.

          Oblicz miary kątów w trójkącie ABC, wiedząc, że  ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 5.

          Dany jest trójkąt równoramienny ( rysunek w filmie ) . Oblicz miarę kąta .

        • Zadanie 6.

          Dany jest trójkąt równoramienny ABC ( rysunek w filmie ) . Oblicz miarę kąta .

        • Zadanie 7.

          Wyznacz miary kątów w trójkącie, wiedząc, że stosunek miar tych kątów to a) 1:2:3 b) 1:5:6.

        • Zadanie 8.

          Wyznacz sumę kątów , na podstawie rysunku w filmie.

        • Zadanie 9.

          W trójkącie równoramiennym, w którym , odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta BAC. Oblicz miary katów trójkąta ABD ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 10.

          W trójkącie równoramiennym, w którym , półproste AO i  BO dzielą kąty przy podstawie na połowy. Oblicz miarę kąta  ( rysunek w zadaniu )

      • Cechy przystawania trójkątów

        • Zadanie 1.

          Czy trójkąty ABC i DEF są przystające? ( rysunki w filmie )

        • Zadanie 2.

          Czy trójkąty ABC i DEF są przystające? ( rysunki w filmie )

        • Zadanie 3.

          Udowodnij, że w równoległoboku ABCD trójkąt ABC jest przystający do trójkąta ADC.

        • Zadanie 4.

          Udowodnij, że trójkąt ACB jest przystający do trójkąta DCE, jeśli AB II DE i IACI=ICEI

        • Zadanie 5.

          W trójkącie równoramiennym ABC, o podstawie AB,  poprowadzono z wierzchołków AB środkowe AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.

        • Zadanie 6.

          W trójkącie równoramiennym ABC, o podstawie AB,  poprowadzono z wierzchołków A i B dwusieczne AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.

        • Zadanie 7.

          Udowodnij, że każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion kąta.

        • Zadanie 8.

          Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak jak na rysunku w filmie ( w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty ). Wykaż, że |AD|=|BE|.

        • Zadanie 9.

          Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF BCGH ( tak  jak na rysunku w filmie ). Udowodnij, że |AC|=|FG|.

      • Twierdzenie Pitagorasa

        • Zadanie 1.

          W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 cm i 5 cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna?

        • Zadanie 2.

          W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 4 cm, a przeciwprostokątna ma długość  \sqrt{21} cm. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.

        • Zadanie 3.

          Oblicz długość odcinka AB ( rysunek w zadaniu )

        • Zadanie 4.

          Oblicz długość wysokości w trójkącie równoramiennym, którego podstawa ma długość 6 cm, a ramię ma długość 9 cm.

        • Zadanie 5.

          W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych to 8 cm, a długość drugiej przyprostokątnej jest o 2 cm krótsza od długości przeciwprostokątnej. Oblicz jaka jest długość przeciwprostokątnej w tym trójkącie?

        • Zadanie 6.

          W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych to 3 cm, a długość przeciwprostokątnej jest o 2 cm dłuższa od długości drugiej przyprostokątnej. Oblicz odwód trójkąta.

        • Zadanie 7.

          Drabinę długości 4 m oparto o pionową ścianę. Odległość dolnej części drabiny od ściany to 1,5 m. Oblicz na jakiej wysokości oparto drabinę.

        • Zadanie 8.

          Samolot leci 12 km na południe, potem 16 km na wschód, po czym ląduje na lotnisku. Oblicz odległość lotniska od startu samolotu.

        • Zadanie 9.

          Oblicz x ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 10.

          Oblicz x ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 11.

          Sprawdź czy trójkąt o bokach długości:

          a) \frac{9}{10},\frac{6}{5},\frac{3}{2} ,   

          b) 5,9,11

          jest prostokątny ?

        • Zadanie 12.

          Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że przekątna kwadratu o boku długości   ma długość  a\sqrt{2}

        • Zadanie 13.

          Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że wysokość h w trójkącie równobocznym ABC o boku długości , wynosi  \frac{a\sqrt{3}}{2}.

      • Trójkąty prostokątne

        • Zadanie 1.

          W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym  przeciwprostokątna ma długość 8 cm. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

        • Zadanie 2.

          W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym  przeciwprostokątna ma długość 4 cm. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

        • Zadanie 3.

          W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym  dłuższa przyprostokątna ma długość 10 . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

        • Zadanie 4.

          W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym  krótsza przyprostokątna ma długość 6 . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

        • Zadanie 5.

          Oblicz obwód trójkąta prostokątnego ABC ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 6.

          Oblicz obwód równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 7.

          Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie.

        • Zadanie 8.

          Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie.

        • Zadanie 9.

          Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|,  ma miarę . Oblicz obwód tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 15 cm.

        • Zadanie 10.

          Oblicz długość krótszej przyprostokątnej trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa 2\sqrt{6}+4\sqrt{2}.

        • Zadanie 11.

          Oblicz obwód trójkąta prostokątnego ADB ( rysunek w filmie ), jeśli |BC|=6.

      • Pole trójkąta

        • Zadanie 1.

          Oblicz pole trójkąta ABC przedstawionego na rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 2.

          Oblicz długość odcinka
          a) CP jeżeli P_{\bigtriangleup }=60 
          b) AC jeżeli P_{\bigtriangleup }=28
          c) BC jeżeli P_{\bigtriangleup }=12

        • Zadanie 3.

          Oblicz długość odcinka AD ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 4.

          Oblicz długość odcinka CD ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 5.

          Oblicz pole równoramiennego trójkąta prostokątnego, jeżeli jego obwód jest równy 6(2+\sqrt{2})

        • Zadanie 6.

          Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ma miarę . Oblicz pole tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 16 cm.

        • Zadanie 7.

          Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa 4\sqrt{6}+8\sqrt{2} .

        • Zadanie 8.

          Oblicz pole trójkąta prostokątnego ADB ( rysunek w filmie ), jeśli pole trójkąta BDC jest równe 3\sqrt{3} .

        • Zadanie 9.

          Udowodnij wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a, P_{\bigtriangleup}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}  . Wyznacz obwód  trójkąta równobocznego, jeżeli jego pole wynosi 4\sqrt{3}.

        • Zadanie 10.

          W trójkącie równoramiennym o polu 12\sqrt{3} cm^{2} stosunek długości wysokości opuszczonej na podstawę do długości tej podstawy jest równy \frac{\sqrt{3}}{6}. Oblicz długość podstawy i wysokości tego trójkąta.

        • Zadanie 11.

          Udowodnij, że pole trójkąta równoramiennego ABC, o kącie przy podstawie 30^{0} jest równe polu trójkąta równobocznego, którego długość boku jest równa długości ramienia trójkąta ABC

    • Czworokąty

      • Kwadrat

        • Zadanie 1.

          Oblicz długość boku kwadratu, którego:
          a) pole jest równe 169
          b) obwód jest równy 24

        • Zadanie 2.

          Oblicz długość boku kwadratu, którego przekątna ma długość 6, następnie oblicz pole i obwód tego kwadratu.

        • Zadanie 3.

          Udowodnij, ze jeżeli przekątna kwadratu ma długość d, to jego pole można wyrazić wzorem P=\frac{1}{2}d^{2}.

        • Zadanie 4.

          Oblicz pole kwadratu ABCD, jeżeli długości boków kwadratu ACKM są równe 4 ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 5.

          Oblicz pole czworokąta AKCL, wiedząc, że czworokąt ABCD jest kwadratem o boku długości 2 i \left | CK \right |=\left | CL \right |=\frac{4}{3} ( rysunek w filmie )

      • Prostokąt

        • Zadanie 1.

          Udowodnij, że długość d przekątnej prostokąta o bokach długości a\, \, i\, \, b można wyrazić wzorem d=\sqrt{a^{2}+b^{2}} . Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 5\, cm\, \, i\, \, 2\sqrt{3}\, cm

        • Zadanie 2.

          Oblicz długości boków prostokąta ABCD na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie ).

        • Zadanie 3.

          Oblicz długość drugiego boku oraz długość przekątnej prostokąta ABCD na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie ).

        • Zadanie 4.

          Oblicz pole i obwód prostokąta ABCD na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie ).

        • Zadanie 5.

          Oblicz długość promienia okręgu opisanego na  prostokącie ABCD, oraz pole i obwód tego prostokąta, na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie ).

        • Zadanie 6.

          Oblicz długości boków i pole prostokąta o obwodzie L=48, wykorzystując dane z rysunku ( rysunek w filmie )

      • Równoległobok

        • Zadanie 1.

          Oblicz na podstawie rysunku w filmie miary kątów w równoległoboku ABCD

        • Zadanie 2.

          Oblicz pole równoległoboku, którego długości boków to 12 cm i 6 cm, a kąt ostry tego równoległoboku ma miarę 30^{0}

        • Zadanie 3.

          Pole równoległoboku o bokach długości 5 cm i 8 cm wynosi 24 cm2. Oblicz długości wysokości tego równoległoboku.

        • Zadanie 4.

          Pole równoległoboku o bokach długości 6 cm i 16 cm jest równe 48 cm2. Oblicz długości wysokości i miary kątów tego równoległoboku.

        • Zadanie 5.

          Kąt rozwarty równoległoboku to 120^{0} , oblicz pole tego równoległoboku wiedząc, że długości jego boków to 6 cm i 10 cm.

        • Zadanie 6.

          Kąt rozwarty równoległoboku to 135^{0}. Oblicz długość drugiego boku równoległoboku wiedząc, że długość podstawy to 10 cm, a długość wysokości na nią opuszczonej to 8 cm.

        • Zadanie 7.

          Oblicz pole równoległoboku, którego krótsza przekątna tworzy z ramieniem długości 6 cm kąt prosty, a kąt ostry tego równoległoboku ma miarę 600.

        • Zadanie 8.

          Oblicz pole równoległoboku, którego krótsza przekątna tworzy z bokiem AD kąt prosty, kąt ostry tego równoległoboku ma miarę 600, a podstawa AB ma długość 4, jak na rysunku w filmie.

        • Zadanie 9.

          W równoległoboku ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AD. Punkt M jest środkiem boku AB. Udowodnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta AMD. Wykonaj odpowiednie obliczenia.

      • Romb

        • Zadanie 1.

          Oblicz pole rombu, którego obwód wynosi 16 cm, a wysokość tego rombu ma długość 3 cm.

        • Zadanie 2.

          Oblicz pole rombu, którego przekątne mają długości 2\sqrt{2}+2\, \, i\, \, 3\sqrt{2}+1 . Wynik podaj w najprostszej postaci.

        • Zadanie 3.

          Pole rombu jest równe 96, a jedna z przekątnych ma długość 12. Oblicz długość drugiej przekątnej, długość wysokości, długość boku oraz obwód rombu.

        • Zadanie 4.

          Oblicz pole rombu o kącie ostrym 45^{0} wiedząc, że długość boku rombu wynosi 12 cm.

        • Zadanie 5.

          Oblicz pole rombu o kącie ostrym 60^{0} wiedząc, że długość wysokości rombu wynosi 8 cm.

        • Zadanie 6.

          Pole rombu wynosi 54 cm2. Przekątne rombu pozostają w stosunku 1:3. Oblicz długości przekątnych , długość boku oraz długość wysokości rombu.

        • Zadanie 7.

          Krótsza przekątna rombu ma taką samą długość jak długość boku rombu. Podaj miary kątów wewnętrznych tego rombu oraz miarę kąta nachylenia dłuższej przekątnej rombu z jego bokiem.

        • Zadanie 8.

          Ile jest równa wysokość rombu o przekątnych długości 6 cm i 8 cm ?

        • Zadanie 9.

          Oblicz pole rombu o boku długości 13 cm i dłuższej przekątnej równej 24 cm.

        • Zadanie 10.

          Oblicz pole rombu o boku długości 12 cm i kącie ostrym 600 oraz długość promienia okręgu wpisanego w ten romb.

        • Zadanie 11.

          Obwód rombu jest równy 24 cm, a jego pole 18 cm2. Oblicz miarę kąta ostrego tego rombu.

      • Trapez

        • Zadanie 1.

          Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 12 cm i 8 cm oraz kącie ostrym 600.

        • Zadanie 2.

          Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 16 cm i 10 cm oraz kącie rozwartym 1500.

        • Zadanie 3.

          Oblicz pole trapezu prostokątnego o podstawach długości 13 cm i 19 cm oraz kącie ostrym 600.

        • Zadanie 4.

          Oblicz pole trapezu prostokątnego o ramionach długości 5 cm i 10 cm oraz krótszej podstawie długości 4 cm.

        • Zadanie 5.

          Oblicz pole i miary kątów trapezu równoramiennego o podstawach 6\sqrt{3}\, cm\, \, i\, \, 2\sqrt{3}\, cm opisanego na okręgu o promieniu 3\, cm.

        • Zadanie 6.

          W trapezie prostokątnym długość krótszej przekątnej jest równa 13 cm, a długość krótszej podstawy wynosi 5 cm. Wiedząc, że miara kąta rozwartego tego trapezu równa się 150^{0} . Oblicz pole trapezu.

        • Zadanie 7.

          Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 16 cm i 10 cm i ramieniu długości 5 cm.

        • Zadanie 8.

          Oblicz pole trapezu o podstawach długości 15 cm i 25 cm i ramionach długości 6 cm i 8 cm ( rysunek w filmie ).

        • Zadanie 9.

          Oblicz pole trapezu o podstawach długości 8 cm i 4 cm. Oblicz pole trójkąta BKC, na podstawie danych z rysunku  ( rysunek w filmie ).

        • Zadanie 10.

          Obwód trapezu równoramiennego jest równy 72 cm, ramię ma długość 20 cm, a różnica długości podstaw wynosi 24 cm. Oblicz pole trapezu.

        • Zadanie 11.

          Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli ten trapez na dwa trójkąty, z których jeden jest trójkątem równobocznym o boku a. Udowodnij, że pole tego trapezu może być opisane wzorem P=\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{8}

        • Zadanie 12.

          Czworokąt ABCD jest kwadratem o boku długości 10 cm. Z kwadratu odcięto trójkąt prostokątny KBC ( jak na rysunku w filmie ). Oblicz długość krótszej podstawy trapezu AKCD wiedząc, że pole trójkąta KBC jest dwa razy mniejsze od pola trapezu .

      • Deltoid

        • Zadanie 1.

          Oblicz pole i długości boków deltoidu przedstawionego na rysunku w filmie.

        • Zadanie 2.

          Oblicz pole i długości boków deltoidu przedstawionego na rysunku w filmie.

        • Zadanie 3.

          Oblicz pole deltoidu  w którym, \left | CB \right |=\left | AB \right |=6\sqrt{13},\left | CD \right |=\left | AD \right |=20\, oraz\, \left | AC \right |=24 

    • Wielokąty foremne

      • Zadanie 1.

        Oblicz miarę kąta wewnętrznego a) pięciokąta foremnego b) sześciokąta foremnego

      • Zadanie 2.

        Uzasadnij, że w sześciokącie foremnym o boku długości  a  długość
        a) dłuższej przekątnej jest równa 2a 
        b) krótszej przekątnej jest równa a\sqrt{3}

      • Zadanie 3.

        Uzasadnij, że w sześciokącie foremnym o boku długości  pole wyraża się wzorem P=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2} . Oblicz pole sześciokąta foremnego o obwodzie 12\sqrt{3} .

      • Zadanie 4.

        Pole sześciokąta foremnego wynosi 8\sqrt{3} . Oblicz długość krótszej przekątnej tego sześciokąta.

      • Zadanie 5.

        Oblicz pole sześciokąta foremnego, jeżeli długość krótszej przekątnej tego sześciokąta wynosi 6 cm.

      • Zadanie 6.

        Oblicz długości przekątnych sześciokąta foremnego o polu 216\sqrt{3} cm2.

      • Zadanie 7.

        Kąt wewnętrzny pewnego wielokąta foremnego ma miarę 1500. Jaki to wielokąt foremny?

      • Zadanie 8.

        W pięciokącie foremnym ABCDE poprowadzono z wierzchołka B przekątne BD i BE. Przekątne te podzieliły pięciokąt na trzy trójkąty. Oblicz miary kątów tych trójkątów.

      • Zadanie 9.

        W pewnym kwadracie ABCD odcięto naroża. Otrzymano w ten sposób ośmiokąt foremny  o boku długości 8 cm. Wykaż, że długość boku kwadratu to 8\left ( \sqrt{2}+1 \right )

    • Sprawdź czy umiesz