Figury geometryczne na płaszczyźnie • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła podstawowa
Figury geometryczne na płaszczyźnie

Figury geometryczne na płaszczyźnie
Kurs z geometrii na płaszczyźnie tzw. planimetrii, pozwoli Ci poznać metody obliczanie obwodów i pól figur geometrycznych według wzorów, pozwoli Ci z powodzeniem rozwiązać różne zadania geometryczne. Poznasz też rodzaje kątów i ich własności w poszczególnych figurach geometrycznych. Geometria rozwija wyobraźnię, jakże potrzebną w codziennym życiu.
- Rodzaje kątów
  - Zadanie 1.
    Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 2.
    Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 3.
    Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 4.
    Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 5.
    Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 6.
    Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 7.
    Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 8.
    Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 9.
    Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek poniżej ), wiedząc, że DC || AB
- Trójkąty
  - Klasyfikacja trójkątów
    - Zadanie 1.
      Czy istnieje trójkąt o bokach długości a) 3 cm, 4 cm, 6 cm b) 3 cm, 3 cm, 7 cm?
    - Zadanie 2.
      Oblicz miarę trzeciego kąta trójkąta, którego dwa kąty mają miary:
      a) 35⁰ i 70⁰b) kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego maja miarę 48⁰
    - Zadanie 3.
      Oblicz miary kątów w trójkącie prostokątnym równoramiennym.
    - Zadanie 4.
      Oblicz miary kątów w trójkącie ABC, wiedząc, że ( rysunek w filmie )
    - Zadanie 5.
      Dany jest trójkąt równoramienny ( rysunek w filmie ) . Oblicz miarę kąta .
    - Zadanie 6.
      Dany jest trójkąt równoramienny ABC ( rysunek w filmie ) . Oblicz miarę kąta .
    - Zadanie 7.
      Wyznacz miary kątów w trójkącie, wiedząc, że stosunek miar tych kątów to a) 1:2:3 b) 1:5:6.
    - Zadanie 8.
      Wyznacz sumę kątów , na podstawie rysunku w filmie.
    - Zadanie 9.
      W trójkącie równoramiennym, w którym , odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta BAC. Oblicz miary katów trójkąta ABD ( rysunek w filmie )
    - Zadanie 10.
      W trójkącie równoramiennym, w którym , półproste AO i BO dzielą kąty przy podstawie na połowy. Oblicz miarę kąta ( rysunek w zadaniu )
  - Cechy przystawania trójkątów
    - Zadanie 1.
      Czy trójkąty ABC i DEF są przystające? ( rysunki w filmie )
    - Zadanie 2.
      Czy trójkąty ABC i DEF są przystające? ( rysunki w filmie )
    - Zadanie 3.
      Udowodnij, że w równoległoboku ABCD trójkąt ABC jest przystający do trójkąta ADC.
    - Zadanie 4.
      Udowodnij, że trójkąt ACB jest przystający do trójkąta DCE, jeśli AB II DE i IACI=ICEI
    - Zadanie 5.
      W trójkącie równoramiennym ABC, o podstawie AB, poprowadzono z wierzchołków AB środkowe AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.
    - Zadanie 6.
      W trójkącie równoramiennym ABC, o podstawie AB, poprowadzono z wierzchołków A i B dwusieczne AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.
    - Zadanie 7.
      Udowodnij, że każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion kąta.
    - Zadanie 8.
      Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak jak na rysunku w filmie ( w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty ). Wykaż, że |AD|=|BE|.
    - Zadanie 9.
      Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF BCGH ( tak jak na rysunku w filmie ). Udowodnij, że |AC|=|FG|.
  - Twierdzenie Pitagorasa
    - Zadanie 1.
      W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 cm i 5 cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna?
    - Zadanie 2.
      W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 4 cm, a przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{21}$ cm. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.
    - Zadanie 3.
      Oblicz długość odcinka AB ( rysunek w zadaniu )
    - Zadanie 4.
      Oblicz długość wysokości w trójkącie równoramiennym, którego podstawa ma długość 6 cm, a ramię ma długość 9 cm.
    - Zadanie 5.
      W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych to 8 cm, a długość drugiej przyprostokątnej jest o 2 cm krótsza od długości przeciwprostokątnej. Oblicz jaka jest długość przeciwprostokątnej w tym trójkącie?
    - Zadanie 6.
      W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych to 3 cm, a długość przeciwprostokątnej jest o 2 cm dłuższa od długości drugiej przyprostokątnej. Oblicz odwód trójkąta.
    - Zadanie 7.
      Drabinę długości 4 m oparto o pionową ścianę. Odległość dolnej części drabiny od ściany to 1,5 m. Oblicz na jakiej wysokości oparto drabinę.
    - Zadanie 8.
      Samolot leci 12 km na południe, potem 16 km na wschód, po czym ląduje na lotnisku. Oblicz odległość lotniska od startu samolotu.
    - Zadanie 9.
      Oblicz x ( rysunek w filmie )
    - Zadanie 10.
      Oblicz x ( rysunek w filmie )
    - Zadanie 11.
      Sprawdź czy trójkąt o bokach długości:
      
      a) $\frac{9}{10},\frac{6}{5},\frac{3}{2}$ ,
      
      b) 5,9,11
      
      jest prostokątny ?
    - Zadanie 12.
      Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że przekątna kwadratu o boku długości ma długość $a\sqrt{2}$
    - Zadanie 13.
      Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że wysokość h w trójkącie równobocznym ABC o boku długości , wynosi $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .
  - Trójkąty prostokątne
    - Zadanie 1.
      W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym przeciwprostokątna ma długość 8 cm. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.
    - Zadanie 2.
      W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym przeciwprostokątna ma długość 4 cm. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.
    - Zadanie 3.
      W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym dłuższa przyprostokątna ma długość 10 . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
    - Zadanie 4.
      W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym krótsza przyprostokątna ma długość 6 . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
    - Zadanie 5.
      Oblicz obwód trójkąta prostokątnego ABC ( rysunek w filmie )
    - Zadanie 6.
      Oblicz obwód równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC ( rysunek w filmie )
    - Zadanie 7.
      Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie.
    - Zadanie 8.
      Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie.
    - Zadanie 9.
      Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|, ma miarę . Oblicz obwód tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 15 cm.
    - Zadanie 10.
      Oblicz długość krótszej przyprostokątnej trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa $2\sqrt{6}+4\sqrt{2}$ .
    - Zadanie 11.
      Oblicz obwód trójkąta prostokątnego ADB ( rysunek w filmie ), jeśli |BC|=6.
  - Pole trójkąta
    - Zadanie 1.
      Oblicz pole trójkąta ABC przedstawionego na rysunku ( rysunek w filmie )
    - Zadanie 2.
      Oblicz długość odcinka
      a) jeżeli $P_{\bigtriangleup }=60$
      b) jeżeli $P_{\bigtriangleup }=28$
      c) jeżeli $P_{\bigtriangleup }=12$
    - Zadanie 3.
      Oblicz długość odcinka AD ( rysunek w filmie )
    - Zadanie 4.
      Oblicz długość odcinka CD ( rysunek w filmie )
    - Zadanie 5.
      Oblicz pole równoramiennego trójkąta prostokątnego, jeżeli jego obwód jest równy $6(2+\sqrt{2})$
    - Zadanie 6.
      Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ma miarę . Oblicz pole tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 16 cm.
    - Zadanie 7.
      Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa $4\sqrt{6}+8\sqrt{2}$ .
    - Zadanie 8.
      Oblicz pole trójkąta prostokątnego ADB ( rysunek w filmie ), jeśli pole trójkąta BDC jest równe $3\sqrt{3}$ .
    - Zadanie 9.
      Udowodnij wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a, $P_{\bigtriangleup}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ . Wyznacz obwód trójkąta równobocznego, jeżeli jego pole wynosi $4\sqrt{3}$ .
    - Zadanie 10.
      W trójkącie równoramiennym o polu $12\sqrt{3}$ $cm^{2}$ stosunek długości wysokości opuszczonej na podstawę do długości tej podstawy jest równy $\frac{\sqrt{3}}{6}$ . Oblicz długość podstawy i wysokości tego trójkąta.
    - Zadanie 11.
      Udowodnij, że pole trójkąta równoramiennego ABC, o kącie przy podstawie $30^{0}$ jest równe polu trójkąta równobocznego, którego długość boku jest równa długości ramienia trójkąta ABC
- Czworokąty
  - Kwadrat
    - Zadanie 1.
      Oblicz długość boku kwadratu, którego:
      a) pole jest równe 169
      b) obwód jest równy 24
    - Zadanie 2.
      Oblicz długość boku kwadratu, którego przekątna ma długość 6, następnie oblicz pole i obwód tego kwadratu.
    - Zadanie 3.
      Udowodnij, ze jeżeli przekątna kwadratu ma długość , to jego pole można wyrazić wzorem $P=\frac{1}{2}d^{2}$ .
    - Zadanie 4.
      Oblicz pole kwadratu ABCD, jeżeli długości boków kwadratu ACKM są równe 4 ( rysunek w filmie )
    - Zadanie 5.
      Oblicz pole czworokąta AKCL, wiedząc, że czworokąt ABCD jest kwadratem o boku długości 2 i $\left | CK \right |=\left | CL \right |=\frac{4}{3}$ ( rysunek w filmie )
  - Prostokąt
    - Zadanie 1.
      Udowodnij, że długość przekątnej prostokąta o bokach długości $a\, \, i\, \, b$ można wyrazić wzorem $d=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ . Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości $5\, cm\, \, i\, \, 2\sqrt{3}\, cm$
    - Zadanie 2.
      Oblicz długości boków prostokąta ABCD na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie ).
    - Zadanie 3.
      Oblicz długość drugiego boku oraz długość przekątnej prostokąta ABCD na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie ).
    - Zadanie 4.
      Oblicz pole i obwód prostokąta ABCD na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie ).
    - Zadanie 5.
      Oblicz długość promienia okręgu opisanego na prostokącie ABCD, oraz pole i obwód tego prostokąta, na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie ).
    - Zadanie 6.
      Oblicz długości boków i pole prostokąta o obwodzie L=48, wykorzystując dane z rysunku ( rysunek w filmie )
  - Równoległobok
    - Zadanie 1.
      Oblicz na podstawie rysunku w filmie miary kątów w równoległoboku ABCD
    - Zadanie 2.
      Oblicz pole równoległoboku, którego długości boków to 12 cm i 6 cm, a kąt ostry tego równoległoboku ma miarę $30^{0}$
    - Zadanie 3.
      Pole równoległoboku o bokach długości 5 cm i 8 cm wynosi 24 cm². Oblicz długości wysokości tego równoległoboku.
    - Zadanie 4.
      Pole równoległoboku o bokach długości 6 cm i 16 cm jest równe 48 cm². Oblicz długości wysokości i miary kątów tego równoległoboku.
    - Zadanie 5.
      Kąt rozwarty równoległoboku to $120^{0}$ , oblicz pole tego równoległoboku wiedząc, że długości jego boków to 6 cm i 10 cm.
    - Zadanie 6.
      Kąt rozwarty równoległoboku to $135^{0}$ . Oblicz długość drugiego boku równoległoboku wiedząc, że długość podstawy to 10 cm, a długość wysokości na nią opuszczonej to 8 cm.
    - Zadanie 7.
      Oblicz pole równoległoboku, którego krótsza przekątna tworzy z ramieniem długości 6 cm kąt prosty, a kąt ostry tego równoległoboku ma miarę 60⁰.
    - Zadanie 8.
      Oblicz pole równoległoboku, którego krótsza przekątna tworzy z bokiem AD kąt prosty, kąt ostry tego równoległoboku ma miarę 60⁰, a podstawa AB ma długość 4, jak na rysunku w filmie.
    - Zadanie 9.
      W równoległoboku ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AD. Punkt M jest środkiem boku AB. Udowodnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta AMD. Wykonaj odpowiednie obliczenia.
  - Romb
    - Zadanie 1.
      Oblicz pole rombu, którego obwód wynosi 16 cm, a wysokość tego rombu ma długość 3 cm.
    - Zadanie 2.
      Oblicz pole rombu, którego przekątne mają długości $2\sqrt{2}+2\, \, i\, \, 3\sqrt{2}+1$ . Wynik podaj w najprostszej postaci.
    - Zadanie 3.
      Pole rombu jest równe 96, a jedna z przekątnych ma długość 12. Oblicz długość drugiej przekątnej, długość wysokości, długość boku oraz obwód rombu.
    - Zadanie 4.
      Oblicz pole rombu o kącie ostrym $45^{0}$ wiedząc, że długość boku rombu wynosi 12 cm.
    - Zadanie 5.
      Oblicz pole rombu o kącie ostrym $60^{0}$ wiedząc, że długość wysokości rombu wynosi 8 cm.
    - Zadanie 6.
      Pole rombu wynosi 54 cm². Przekątne rombu pozostają w stosunku 1:3. Oblicz długości przekątnych , długość boku oraz długość wysokości rombu.
    - Zadanie 7.
      Krótsza przekątna rombu ma taką samą długość jak długość boku rombu. Podaj miary kątów wewnętrznych tego rombu oraz miarę kąta nachylenia dłuższej przekątnej rombu z jego bokiem.
    - Zadanie 8.
      Ile jest równa wysokość rombu o przekątnych długości 6 cm i 8 cm ?
    - Zadanie 9.
      Oblicz pole rombu o boku długości 13 cm i dłuższej przekątnej równej 24 cm.
    - Zadanie 10.
      Oblicz pole rombu o boku długości 12 cm i kącie ostrym 60⁰ oraz długość promienia okręgu wpisanego w ten romb.
    - Zadanie 11.
      Obwód rombu jest równy 24 cm, a jego pole 18 cm². Oblicz miarę kąta ostrego tego rombu.
  - Trapez
    - Zadanie 1.
      Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 12 cm i 8 cm oraz kącie ostrym 60⁰.
    - Zadanie 2.
      Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 16 cm i 10 cm oraz kącie rozwartym 150⁰.
    - Zadanie 3.
      Oblicz pole trapezu prostokątnego o podstawach długości 13 cm i 19 cm oraz kącie ostrym 60⁰.
    - Zadanie 4.
      Oblicz pole trapezu prostokątnego o ramionach długości 5 cm i 10 cm oraz krótszej podstawie długości 4 cm.
    - Zadanie 5.
      Oblicz pole i miary kątów trapezu równoramiennego o podstawach $6\sqrt{3}\, cm\, \, i\, \, 2\sqrt{3}\, cm$ opisanego na okręgu o promieniu $3\, cm$ .
    - Zadanie 6.
      W trapezie prostokątnym długość krótszej przekątnej jest równa 13 cm, a długość krótszej podstawy wynosi 5 cm. Wiedząc, że miara kąta rozwartego tego trapezu równa się $150^{0}$ . Oblicz pole trapezu.
    - Zadanie 7.
      Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 16 cm i 10 cm i ramieniu długości 5 cm.
    - Zadanie 8.
      Oblicz pole trapezu o podstawach długości 15 cm i 25 cm i ramionach długości 6 cm i 8 cm ( rysunek w filmie ).
    - Zadanie 9.
      Oblicz pole trapezu o podstawach długości 8 cm i 4 cm. Oblicz pole trójkąta BKC, na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie ).
    - Zadanie 10.
      Obwód trapezu równoramiennego jest równy 72 cm, ramię ma długość 20 cm, a różnica długości podstaw wynosi 24 cm. Oblicz pole trapezu.
    - Zadanie 11.
      Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli ten trapez na dwa trójkąty, z których jeden jest trójkątem równobocznym o boku . Udowodnij, że pole tego trapezu może być opisane wzorem $P=\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{8}$
    - Zadanie 12.
      Czworokąt ABCD jest kwadratem o boku długości 10 cm. Z kwadratu odcięto trójkąt prostokątny KBC ( jak na rysunku w filmie ). Oblicz długość krótszej podstawy trapezu AKCD wiedząc, że pole trójkąta KBC jest dwa razy mniejsze od pola trapezu .
  - Deltoid
    - Zadanie 1.
      Oblicz pole i długości boków deltoidu przedstawionego na rysunku w filmie.
    - Zadanie 2.
      Oblicz pole i długości boków deltoidu przedstawionego na rysunku w filmie.
    - Zadanie 3.
      Oblicz pole deltoidu w którym, $\left | CB \right |=\left | AB \right |=6\sqrt{13},\left | CD \right |=\left | AD \right |=20\, oraz\, \left | AC \right |=24$
- Wielokąty foremne
  - Zadanie 1.
    Oblicz miarę kąta wewnętrznego a) pięciokąta foremnego b) sześciokąta foremnego
  - Zadanie 2.
    Uzasadnij, że w sześciokącie foremnym o boku długości długość
    a) dłuższej przekątnej jest równa
    b) krótszej przekątnej jest równa $a\sqrt{3}$
  - Zadanie 3.
    Uzasadnij, że w sześciokącie foremnym o boku długości pole wyraża się wzorem $P=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}$ . Oblicz pole sześciokąta foremnego o obwodzie $12\sqrt{3}$ .
  - Zadanie 4.
    Pole sześciokąta foremnego wynosi $8\sqrt{3}$ . Oblicz długość krótszej przekątnej tego sześciokąta.
  - Zadanie 5.
    Oblicz pole sześciokąta foremnego, jeżeli długość krótszej przekątnej tego sześciokąta wynosi 6 cm.
  - Zadanie 6.
    Oblicz długości przekątnych sześciokąta foremnego o polu $216\sqrt{3}$ cm².
  - Zadanie 7.
    Kąt wewnętrzny pewnego wielokąta foremnego ma miarę 150⁰. Jaki to wielokąt foremny?
  - Zadanie 8.
    W pięciokącie foremnym ABCDE poprowadzono z wierzchołka B przekątne BD i BE. Przekątne te podzieliły pięciokąt na trzy trójkąty. Oblicz miary kątów tych trójkątów.
  - Zadanie 9.
    W pewnym kwadracie ABCD odcięto naroża. Otrzymano w ten sposób ośmiokąt foremny o boku długości 8 cm. Wykaż, że długość boku kwadratu to $8\left ( \sqrt{2}+1 \right )$
- Sprawdź czy umiesz
  - Zestaw 1.